Напомню, что мы рассматриваем типовые задачи схемы Бернулли (или независимых повторных испытаний). Чаще всего эти задачи связаны с нахождением вероятности того, что событие произойдет сколько-то раз в серии опытов (см. решения задач про выстрелы, билеты лотереи, партии в шахматы или рождения детей). Но еще один часто встречающийся тип задач – тот, где требуется подсчитать наиболее вероятное число наступлений события.

Вычисление этого значения имеет большое практическое значение, что легко видно из постановки задач:

1. С завода отправили 100 ящиков с хрупким товаром. Вероятность того, что ящик повредится в пути, равна 0,01. Какое наиболее вероятное число поврежденных ящиков будет на станции приема груза?

2. Вероятность того, что лампа небракованная, равна 0,97. Для ресторана закупили 124 лампы. Каково наиболее вероятное число рабочих ламп?

Конечно, в реальной жизни эти задачи формулируются более сложно и решаются по иным правилам, но для учебных целей мы разбираем простейшие случаи. Перейдем к формуле, для чего сформулируем общую постановку задачи еще раз:

Пусть производится $n$ опытов, вероятность наступления события $A$ в каждом из которых одинакова равна $p$. Тогда наивероятнейшее число $m$ наступлений события $A$ в этой серии опытов можно найти по формуле: $$ np-q le m le np+p, quad q=1-p. qquad (1) $$

Часто после нахождения наибольшего числа успехов требуется вычислить вероятность наступления именно этого числа, для чего используем обычную формулу Бернулли:

$$ P_n(m)= C_n^m cdot p^m cdot q^. qquad (2) $$

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач о наивероятнейшем значении успехов, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о наиболее вероятном значении

Рассмотрим несколько типовых примеров.

Пример 1. Вероятность изготовления изделия высшего сорта на данном предприятии равна 0,8. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 100 изделий?

Выписываем известные величины $n=100, p=0,8$ и подставляем в формулу (1): $$ 100 cdot 0,8 – 0,2 le m le 100 cdot 0,8 + 0,8, \ 79,8 le m le 80,8,\ m=80. $$ Наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 100 изделий равно 80 изделиям.

Пример 2. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,2. Куплено 12 билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Всего куплено $n=12$ билетов, вероятность выигрыша по каждому $p=0,2$. Получаем по формуле (1): $$ 12 cdot 0,2 – 0,8 le m le 12 cdot 0,2 + 0,2, \ 1,6 le m le 2,6,\ m=2. $$ Наиболее вероятное число выигрышных билетов равно двум. Найдем вероятность этого события по формуле Бернулли (2): $$ P_<12>(2)= C_<12>^2 cdot 0,2^ <2>cdot 0,8^<10>=66cdot 0,2^ <2>cdot 0,8^<10>=0,283. $$

Пример 3. Для данного баскетболиста вероятность забить мяч при одном броске равна 0,6. Произведено 10 бросков по корзине. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

Спортсмен делает $n=10$ независимых бросков, вероятность забить мяч при каждом $p=0,6$. Подставляем все в формулу (1): $$ 10 cdot 0,6 – 0,4 le m le 10 cdot 0,6 + 0,6, \ 5,6 le m le 6,6,\ m=6. $$ Наиболее вероятное число попаданий равно 6. Найдем вероятность этого события по формуле Бернулли (2): $$ P_<10>(6)= C_<10>^6 cdot 0,6^ <6>cdot 0,4^<4>=210 cdot 0,6^ <6>cdot 0,4^<4>=0,251. $$

Пример 4. Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадения 6 очков было равно 50?

Это несколько иная постановка задачи, хотя речь в ней тоже идет о наиболее вероятном числе. В отличие от разобранных выше, здесь уже задано $m=50$, $p=1/6$ (вероятность выпадения 6 очков на кости), а вот общее число бросков $n$ необходимо найти.

Начинаем с формулы (1), разбиваем ее на два неравенства и получаем из каждого выражение для $n$:

$$ np-q le m, quad m le np+p, $$ $$ np le m+q, quad np ge m-p, $$ $$ n le (m+q)/p, quad n ge (m-p)/p. $$

Подставляем наши значения

$$ n le (50+5/6)/(1/6), quad n ge (50-1/6)/(1/6), $$ $$ n le 305, quad n ge 299. $$

Таким образом, нужно подбросить игральную кость от 299 до 305 раз.

Задача П 1.1. На полке стоят 10 книг, из них 3 словаря, 4 справочника и 3 учебника. Какова вероятность того, что из пяти наудачу взятых книг окажется 2 словаря, 2 справочника и один учебник?

Решение. В данном случае общее число книг равно 10. Из них 5 книг можно выбрать n различными способами, где

Найдем число m событий, благоприятствующих выбору 2-х словарей (из 3-х имеющихся), 2-х справочников (из 4-х имеющихся) и одного учебника (из 3-х имеющихся). Получим

Следовательно, искомая вероятность вычисляется по формуле:

Ответ:

Задача П 1.2.Баскетболист бросает мяч пять раз. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Найти вероятность того, что он попадет в корзину: а) три раза; б) менее трех раз; в) более трех раз.

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли:

где n – число выполненных бросков; m – число попаданий мяча из этих n бросков; p – вероятность попадания при одном броске.

В данной задаче n=5, p=0,7.

а) m=3. Следовательно,

б) m 3 или m=5. Следовательно, получаем:

=

Ответ: а) 0,3087; б) 0,16308; в) 0,52822.

Задача П 1.3. В первой урне лежат 5 белых и 10 черных шаров, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили какой-то один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – белый.

Решение. После того, как из второй урны в первую был переложен шар, в первой урне оказалось 16 шаров:

1) или 6 белых и 10 черных, если добавленный шар был белым (одним из тех 3-х, что лежали во второй урне);

2) или 5 белых и 11 черных, если добавленный шар был черным (одним их тех семи, что лежали во второй урне).

Обозначим события: H1 – взяли из второй урны белый шар, H2 – взяли из второй урны черный шар.

H1 и H2 предшествуют событию А. Они являются попарно несовместными и H1 + H2 = Е, т.е. образуют полную группу. Вычислим:

Поэтому по формуле полной вероятности находим:

Ответ:

Задача П 1.4. В партии из 10 деталей имеется 8 новых и две бывших в употреблении. Наудачу отобраны две детали.

а) Составить закон распределения случайной величины Х – числа новых деталей среди отобранных.

б) Вычислить числовые характеристики случайной величины Х.

Решение. а) X – дискретная случайная величина. Она имеет следующие возможные значения: x1 = 0, x2 = 1, x3 =2. Вероятность этих значений вычислим по формуле:

где s =10 – общее число деталей в партии; n = 8 – число новых деталей в партии; m = 2 – число отобранных деталей; k – число новых деталей среди отобранных.

Контроль: = 1.

Следовательно, искомый закон распределения случайной величины X задается табл. П 1.1:

X
p

б) По определению:

Тогда, пользуясь табл. П 1.1, вычисляем:

Ответ: а) табл. П 1.1; б)

Задача П 1.5. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей:

Найти: а) плотность распределения вероятностей

б) числовые характеристики случайной величины X;

в) вероятность попадания величины X в интервал [1; 2,5).

Решение. Рассматриваемая случайная величина X является непрерывной, так как функция F(x)непрерывна на (

Её график изображен на рис. П 1.1.

а) Так как функция и F(x)связаны равенством

(1)

График функции изображен на рис. П 1.2.

в)

Ответ: а) формула (1); б) ; в)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9177 – | 7317 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

І. Теория вероятностей.

1А. Определение сложных событий.

Задача 1.1 Техническое устройство состоит из двух последовательно и трех параллельно соединенных блоков. Определить сложное событие, характеризующее исправное состояние устройства.

Событие A – блок 1 исправен (последовательно соединён)

Событие B – блок 2 исправен (последовательно соединён)

Событие C – блок 3 исправен (параллельно соединён)

Событие D – блок 4 исправен (параллельно соединён)

Событие E – блок 5 исправен (параллельно соединён)

Событие G – техническое устройство исправно.

Так как параллельному соединению соответствует сумма собы­тий, а последовательному соединению — произведение событий.

Тогда Сложное событие G, характеризующее исправное состояние устройства, можно определить следующим образом:

G=A*B*(С+D+E)

2А. Способы определения вероятностей.

Задача 2.1. Бросаются два игральных кубика и рассматриваются события:

– сумма выпавших очков четная;

– произведение выпавших очков менее 37;

– сумма выпавших очков более 15.

Определить вероятности Р(), Р(), Р().

На выпавшей грани «первой» игральной кости может появиться одно очко, два очка,…, шесть очков. Аналогичные шесть элементарных исходов возможны и при бросании другой кости. Каждый из исходов бросания «первой» может сочетаться с каждым из исходов бросания «второй». Таким образом общее число возможных элементарных исходов испытания равно . Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костей равновозможны.

Найдём вероятность того, что сумма выпавших очков четная.

Благоприятствующими интересующему нас событию (сумма выпавших очков четная) являются следующие исходы:

1)1, 1 2)1, 3 3)1, 5 4)2, 2 5)2, 4 6)2, 6

7)3, 1 8)3, 3 9)3, 5 10)4, 2 11)4, 4 12)4, 6

13)5, 1 14)5, 3 15)5, 5 16)6, 2 17)6, 4 18)6, 6

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов испытания:

Найдём вероятность того, что произведение выпавших очков менее 37: