В этой статье мы обсудим делители и кратные. Здесь мы дадим определения делителя и кратного числа. Эти определения нам позволят привести примеры делителей и кратных различных целых чисел. Отдельно рассмотрим делители единицы и минус единицы, а также поговорим о делителях и кратных нуля.

Навигация по странице.

Делители числа – определение, примеры

Сначала дадим определение делителя целого числа.

Делителем целого числа a называется целое число b , на которое a делится нацело.

Если обратиться к понятию делимости, то озвученному определению делителя можно дать иную формулировку.

Целое число b называется делителем целого числа a , если существует такое целое число q , что справедливо равенство a=b·q .

Если целое число b является делителем целого числа a , то говорят, что b делит a , при этом используют краткую запись вида b|a (встречается также обозначение ba ).

Из определения делителя целого числа и свойств умножения целых чисел следует, что любое целое число делится на себя и на единицу, так как a=a·1 и a=1·a . На основании свойств умножения целых чисел можно записать равенства a=(−a)·(−1) и a=(−1)·(−a) , из которых следует, что числа −a и −1 также являются делителями целого числа a . Таким образом, числа a , −a , 1 и −1 всегда являются делителями целого числа a . Например, делителями числа 15 являются числа 15 , −15 , 1 и −1 .

Отдельно нужно сказать о делителях целых чисел 0 , 1 и −1 . Вспомнив свойства делимости, заключаем, что делителем нуля является любое целое число, в том числе и нуль, а делителями единицы и минус единицы являются только числа 1 и −1 .

Итак, целое число 0 имеет бесконечно много делителей, ими являются любые целые числа, числа 1 и −1 имеют только два делителя – единицу и минус единицу, а любое другое целое число a (кроме −1 , 0 и 1 ) имеет, по крайней мере, четыре делителя: a , −a , 1 и −1 .

Приведем еще примеры делителей целых чисел. Число −2 является делителем числа 8 , так как верно равенство 8=(−2)·(−4) (при необходимости смотрите статью умножение целых чисел, правила, примеры). Делителями целого числа 8 являются также числа −8 , −4 , −1 , 1 , 2 , 4 , 8 . А вот число −3 не является делителем числа 8 , так как не существует целого числа q такого, чтобы выполнялось условие 8=(−3)·q . Иными словами, возможно только деление с остатком целых чисел 8 и −3 . Вообще, ни одно целое число, кроме −8 , −4 , −2 , −1 , 1 , 2 , 4 , 8 , не является делителем 8 .

Из рассмотренных примеров отчетливо видно, что делителями целого числа могут быть как целые положительные, так и целые отрицательные числа. Это утверждение обосновывается следующим свойством делимости: если целое число b является делителем целого числа a , то −b ( b и −b – противоположные числа) также является делителем числа a . Таким образом, мы можем рассматривать лишь положительные делители чисел, но при этом помнить, что все целые числа, противоположные положительным делителям данного числа, также являются делителями этого числа.

Напомним еще одно свойство делимости: если целое число b является делителем целого числа a , то b также является делителем целого числа −a . Из него следует, что множества делителей чисел a и −a совпадают. Поэтому, отдавая дань краткости и простоте, мы будем рассматривать лишь делители целых положительных чисел.

Учитывая информацию двух предыдущих абзацев, дальше можно рассматривать лишь положительные делители целых положительных чисел (натуральных чисел).

Натуральное число 1 имеет единственный положительный делитель – это число 1 . Этот факт отличает единицу от других натуральных чисел, так как натуральные числа, отличные от единицы, имеют не менее двух делителей, а именно себя самого и 1 . В зависимости от отсутствия или наличия делителей, отличных от самого натурального числа и от единицы, различают простые и составные числа.

Единица является наименьшим положительным делителем натурального числа a , отличного от 1 , а само число a является наибольшим положительным делителем (о наибольшем и наименьшем числе мы говорили в разделе сравнение трех и большего количества натуральных чисел). То есть, для любого натурального числа a любой его положительный делитель b удовлетворяет условию .

Здесь же заметим, что особую роль имеет наибольший общий делитель – НОД.

Кратные числа – определение, примеры

Дадим определение кратного.

Кратные натурального числа. Кратно ли первое число второму?
Нахождение кратных чисел.

Число 4 умножь на данные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Получаем числовой ряд 4, 8 12, 16, 20, 24, 28.

Все полученные числа делятся на 4. Поэтому можно сказать, что эти числа кратны 4.
Например: в числе 16 чисело 4 взято 4 раза, в числе 24 число 4 взято 6 раз.

Любое натуральное число (кроме нуля), которое делится на данное натуральное число, называется кратным данному числу.

Для каждого из чисел напиши пять кратных.

3 кратно 3, 6, 9, .
6 кратно .
11 кратно .

Например: кратными числу 2 будут числа 2, 4, 6, 8.
многоточие в конце числового ряда показывает, что среди кратных данному числу нет наибольшего числа. Поэтому всякое число имеет бесконечно много кратных этому числу.
Приведи свой пример.

Число 0 не является кратным никакому числу.

1. Укажи те пары чисел, в которых первое число кратно второму?

15 и 3 21 и 7 84 и 22
165 и 3 256 и 12 535 и 15
160 и 40 720 и 36 35 000 и 7000

2. Найди кратные данных чисел. Подчеркни одинаковые кратные, которые получились для пар чисел или для троек чисел.

3. Проверь, будет ли первое число делителем второго.

Описание разработки

Тип урока: урок сообщения и усвоения новых знаний.

ввести понятие делителей и кратных чисел;

научить находить делители и кратные числа;

развивать логическое мышление учащихся.

Общеобразовательные: закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений; проверить знания и умения учащихся по изученному материалу.

Воспитательные: воспитание активности, самостоятельности, ответственности учащихся.

Развивающие: формирование логической и эвристической составляющих мышления

Методы обучения, применяемые на уроке:

По характеру познавательной деятельности: исследовательские, репродуктивные

По компонентам деятельности: организационно-действенные, контрольно-оценочные

По источникам передачи знаний: наглядные, практические.

Оборудование: Компьютер, м/проектор, доска, карточки

Проверка настроения; прием «Мордашки»(у каждого ученика на столе 3 карточки, нужно показать ту, которая соответствует настроению в данный момент).

Вводная часть (доклад-сообщение) С древних времен для решения практических вопросов людям приходилось считать предметы и измерять величины: например, сколько овец в стаде, сколько величин мер зерна собрано с поля. Стали появляться более сложные задачи, связанные с действием деления. Выходя на охоту, охотники должны знать, какое наименьшее число добычи они должны принести, чтобы ее можно разделить между собой поровну. Первым, кто стал изучать вопрос о делимости чисел уже в VI в. до н.э. был древнегреческий ученый – математик Пифагор и его ученики.

2. Основная часть урока.

1. Повторение материала.

Вспомнить правила действий с десятичными дробями:

а) сложение и вычитание десятичных дробей;

б) умножение десятичных дробей;

в) деление десятичной дроби на натуральное число, на деся­тичную дробь.

Устно решить № 22 (а – г), № 20 (а – в), № 16 (б).

Изучение нового материала.

Когда одно число делится на другое без остатка, то первое число делится на второе. Каждое натуральное число делится на 1 и само на себя. Многие натуральные числа делятся не только на 1 и сами на себя, но и на другие натуральные числа. На­пример, число 15 делится на 1, на 3, на 5, на 15. Эти числа называ­ются делителями числа 15.

Задача из учебника на странице 4:

20 яблок можно разделить поровну между 4 ребятами(СЛАЙД 2). Каждый получит по 5 яблок. А если надо разделить (не разрезая) 20 яблок между 6 ребятами, то каждый получит по 3 яблока, а еще 2 яблока останутся(СЛАЙД 3). Говорят, что число 4 является делителем числа 20, а число 6 не является делителем числа 20.

Определение делителя натурального числа а (СЛАЙД 4).

Устно решить задачи № 1 и № 2 (а; б; в).

Задача из учебника на странице 4:

Пусть на столе лежат пачки, в каждой из которых по 8 печений (СЛАЙД 5):

а) Не раскрывая пачек, сколько можно взять печений?

б) Можно ли взять 18 печений, 25 печений?

в) Говорят, что числа 8, 16, 24, 48 кратны числу 8, а числа 18, 25 не кратны числу 8 (СЛАЙД 6).

Определение кратного натуральному числу а. Слово «кра­та» – старинное русское слово, означающее «раз» (СЛАЙД 7)..

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных. Их можно получить, если данное число умножить на 1, на 2, на 3, на 4 и т. д. Например, кратными числу 7 будут числа:

7* 1 = 7; 7 • 2 = 14; 7*3 = 21 и т. д.

Число 0 кратно любому натуральному числу, так как 0 де­лится без остатка на любое натуральное число.

Устно решить задачи № 2 и № 3 (г, д, е).

Закрепление изученного материала.

Решить № 5 (а; б) и № 4 на доске и в тетрадях.

Задачи № 6 (б) и № 7 (б) учащиеся решают, комментируя решение с места.

Ответить на вопросы(СЛАЙД 8).:

а) Какое натуральное число называют делителем данного чис­ла?

б) Какое натуральное число является делителем каждого нату­рального числа?

в) Какое число является наибольшим делителем данного нату­рального числа?

г) Какое число называют кратным данному натуральному числу?

д) Какое число является кратным любому натуральному числу?

Домашнее задание: изучить пункт 1; решить №30 (а; б),